Imagina que te encuentras en una fiesta, rodeado de una o dos docenas de amigos. ¿Cual es la probabilidad de que un par de ellos cumpla años el mismo día? Aunque parezca increíble, es posible demostrar matemáticamente que si el numero de invitados es de 23 personas, la probabilidad supera el 50%. Y si en tu fiesta hay más de 60 invitados, puedes apostar que dos de ellas cumplen años el mismo día con el 99% de posibilidades de ganar. Bienvenidos a la paradoja del cumpleaños
Nuevamente estamos ante una de esas contradicciones lógicas, que si bien desde el punto de vista estrictamente matemático no merecen el nombre de “paradoja”, contradicen lo suficiente el sentido común como para que mucha gente las considere como tales. Algo parecido a lo que sucede con la Paradoja de la banda elástica, que analizamos hace algunas semanas. En este caso, además de dejarte pensando un rato sobre algo que seguramente no te habías planteado nunca, conocerás un nuevo truco para convertirte (o no) en el tío más guay de la fiesta.
Hay una buena probabilidad de que al menos dos de ellos cumplan años el mismo día.
La (mal) llamada Paradoja del cumpleaños establece que si en una reunión se encuentran 23 personas, la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día es del 50,7%. El porcentaje parece, a primera vista, demasiado elevado. Uno tiende a razonar de la siguiente manera: “A ver. El año tiene unos 365 días, y si aquí dentro hay solo 23 personas, pues la probabilidad de que dos de nosotros hayamos nacido el mismo día debe ser de 23/365*100 = 6,3%” ¡Error! ¿En qué nos equivocamos cuando razonamos de esa forma? En que en realidad estamos calculando cual es la probabilidad de que alguno de los presentes cumpla años un día en particular, algo que nada tiene que ver con el problema. Para calcular realmente la probabilidad de dos personas del grupo cumplan años el mismo día hay que considerar parejas y no personas sueltas. Veamos cómo es la forma correcta de hacerlo.
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La clave para entender problema es concentrarse en el cálculo de la probabilidad que tiene una pareja de cumplir años el mismo día, sin importar cuáles sean los integrantes de la pareja ni el día en particular. Supongamos que en nuestra fiesta se encuentran 23 personas. Se pueden formar 23 x 22 = 253 parejas diferentes entre ellas. Si no te has dado cuenta por qué calculamos ese número multiplicando 23 por 22, puedes pensar que para el primer integrante de la pareja hay 23 candidatos posibles, mientras que para el segundo, solo hay 22, pues uno de ellos ya forma parte de la misma. Ahora sí, calculemos la probabilidad aproximada de que en una habitación de n personas, al menos dos cumplan años el mismo día, desechando los años bisiestos y asumiendo que cualquiera de los días del año tiene la misma tasa de nacimientos que el otro. Comenzamos calculando primero la probabilidad de que “n” cumpleaños sean diferentes. Esta probabilidad es dada por la siguiente ecuación:
Lo que representan esa serie de fracciones es el hecho de que la segunda persona no puede tener el mismo cumpleaños que el primero (364/365), la tercera persona no puede tener el mismo cumpleaños que las dos primeras (363/365), y así sucesivamente. Podemos simplificar mucho esa fórmula si utilizamos los llamados “números factoriales”. El “factorial” de un numero (“n!”) se obtiene multiplicando entre sí a ese número y todos los enteros menores a él. El factorial de 5, por ejemplo, se calcula haciendo 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Si utilizamos números factoriales, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:
En la que “p” es la probabilidad de que dos personas no cumplan años el mismo día. Para encontrar el resultado que estamos buscando -la probabilidad que al menos dos personas tengan el mismo día de cumpleaños- debemos hacer 1-p. Si la ecuación es lo suficientemente complicada como para que no de te den siquiera ganas de intentar resolverla, no te preocupes: lo hemos hecho por ti. Para n = 23 se obtiene un valor de 0,507, o lo que es lo mismo, una probabilidad de alrededor de 50,7%.
La próxima vez que vayas a una fiesta en la que hayan otros 20 o 30 invitados puedes intentar averiguar si dos de ellos cumplen años el mismo día. Si son más de 50, hasta puedes tomar el micrófono y lanzar una apuesta sobre ello, con una gran probabilidad de ganar y volver a casa con la chica más bonita de la fiesta. Y si falla, puedes entretenerte calculando las posibilidades que había de que una catástrofe así ocurriese. ¿Te animas?
Estos 2 usuarios han agradecido a eiris este Post:
he ido a fiesta con esa cantidad de personas y nunca vi que dos cumplieran el mismo dia
Será que no preguntarias. Haz la prueba, las matemáticas no mienten, yo he hecho la prueba en tres ocasiones con mas de 60 personas y siempre ha dado resultado. No es algo mágico ni paradojico, es simplemente estadística.
he ido a fiesta con esa cantidad de personas y nunca vi que dos cumplieran el mismo dia
No has entendido la paradoja.
Te explico, de mi mejor amigo, la novia cumple años el mismo dia que yo, la hija de otro amigo, el dia que los cumple mi hija, mi novia y mi tio tb los cumplen el mismo día, 2 compañeros de clase, el mismo día que yo, ect, ect.
La paradoja dice, que en un cumpleaños, hay unas muy altas probabilidades de que 2 cumplan años el mismo día.
Será que no preguntarias. Haz la prueba, las matemáticas no mienten, yo he hecho la prueba en tres ocasiones con mas de 60 personas y siempre ha dado resultado. No es algo mágico ni paradojico, es simplemente estadística.
Aller fue el cumpleaños de mi padre y lo celebramos en el bar de unos amigos. Estabamos unas 70 personas y pregunte. nada de nada.
Tambien recuerdo en el colegio cuando alguno cumpliamos años. No estabamos 60 pero a 50 si llegabamos. Y ninguno de ellos cumplia años en los mismos dias. El mas cercano uno que cumplia el 2 de octubre y otro el 3 de octubre.
Esta paradoja es totalmente falsa. Eso de contar por parjas y demas... nain.
Matematica pura. El año tiene 365 dias. Al cumpleaños van 60 personas. Pum! se divide y sale el resultado. Todo lo demas dicho es totalmente falso. Hasta un niño lo veria. (uno que este aprendiendo a dividir XD)
Aller fue el cumpleaños de mi padre y lo celebramos en el bar de unos amigos. Estabamos unas 70 personas y pregunte. nada de nada.
Tambien recuerdo en el colegio cuando alguno cumpliamos años. No estabamos 60 pero a 50 si llegabamos. Y ninguno de ellos cumplia años en los mismos dias. El mas cercano uno que cumplia el 2 de octubre y otro el 3 de octubre.
Esta paradoja es totalmente falsa. Eso de contar por parjas y demas... nain.
Matematica pura. El año tiene 365 dias. Al cumpleaños van 60 personas. Pum! se divide y sale el resultado. Todo lo demas dicho es totalmente falso. Hasta un niño lo veria. (uno que este aprendiendo a dividir XD)
Lo dicho, la paradoja es real, la formula es real, pero hay excepciones.
Matematica pura. El año tiene 365 dias. Al cumpleaños van 60 personas. Pum! se divide y sale el resultado. Todo lo demas dicho es totalmente falso. Hasta un niño lo veria. (uno que este aprendiendo a dividir XD)
ehmm, simplemente tu razonamiento es erroneo, porque estamos hablando de probabilidad, si fuiste a una fiesta y habían 50 personas y no había almenos una pareja que cumpliese el mismo día es que se trata de una excepción o no lo comprobaste muy bien.
Una grafica de la ecuación para ver que a partir de 50 personas sobrepasa el 90% de probabilidad, y con 100 tenemos el 99,99% de acertar, vamos que a partir de 100 personas ya sería una puesta casi casi casi segura.
Última edición por Thormest; 01-Nov-2009 a las 18:25
Razón: corregir
La paradoja del cumpleaños
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